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\lhead{ EXERCICES MPSI}\chead{ \Large {A6.   ESPACES VECTORIELS}} \rhead {R. FERREOL  16/17}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\begin{center}
\bigskip
\end{center}

\QTP{Body Math}
Dans tous ces exercices, $\mathbb{K}$ est \'{e}gal \`{a} $\mathbb{R}$ ou $%
\mathbb{C}$.

\begin{enumerate}
\item : Dire dans quel $\mathbb{K}-$espace vectoriel sont inclus les
ensembles suivants (il faut pr\'{e}ciser $\mathbb{K}$ dans certains cas). En
sont-ils des sous-espaces vectoriels ?

\begin{enumerate}
\item $\mathbb{Z}$

\item $\mathbb{Q\times \mathbb{R}}$

\item $\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{K}^{2}\;/\;x=0\right\} $

\item $\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{K}^{2}\;/\;x\neq 0\right\} $

\item $\left\{ \left( x,1\right) \;/\;x\in \mathbb{K}\right\} $

\item $\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{K}^{3}\;/\;x=y\right\} $

\item $\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{K}^{3}\;/\;x\neq y\right\} $

\item $\left\{ \left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;\left\vert 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right\vert =0\right\} $

\item $SMag_{\mathfrak{2}}\left( \mathbb{K}\right) =\left\{ \left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;%
\begin{array}{l}
a+b=c+d \\ 
\;\;\;\;\;\;=a+c \\ 
\;\;\;\;\;\;=b+d%
\end{array}%
\right\} $ (ensemble des matrices \textquotedblright
semi-magiques\textquotedblright\ d'ordre 2).

\item $Mag_{2}\left( \mathbb{K}\right) =\left\{ \left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;%
\begin{array}{l}
a+b=c+d \\ 
\;\;\;\;\;\;=a+c \\ 
\;\;\;\;\;\;=b+d \\ 
\;\;\;\;\;\;=a+d \\ 
\;\;\;\;\;\;=b+c%
\end{array}%
\right\} $ (ensemble des matrices \textquotedblright
magiques\textquotedblright\ d'ordre 2).

\item $Mag_{3}\left( \mathbb{K}\right) =\left\{ \left[ 
\begin{array}{lll}
a & b & c \\ 
d & e & f \\ 
g & h & i%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;%
\begin{array}{l}
a+b+c=d+e+f=g+h+i \\ 
=a+d+g=b+e+h=c+f+i \\ 
=a+e+i=c+e+g%
\end{array}%
\right\} $

\item $\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})=\left\{ \left( a_{ij}\right) _{1\leqslant
i,j\leqslant n}\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;\;\forall
i,j\;a_{ij}=a_{ji}\right\} $ (matrices sym\'{e}triques).

\item $\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})=\left\{ \left( a_{ij}\right) _{1\leqslant
i,j\leqslant n}\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) \;/\;\text{ }%
\forall i,j\;a_{ij}=-a_{ji}\right\} $ (matrices antisym\'{e}triques).

\item $\mathcal{P}=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est paire%
}\right\} $

\item $\mathcal{I}=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est
impaire}\right\} $

\item $\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ polynomiale et }\deg
f=n\right\} $ $\left( n\in \mathbb{N}\right) $

\item $\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ polynomiale et }\deg
f\leqslant n\right\} $ (not\'{e} $\mathcal{P}_{n}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}%
\right) )$

\item $F=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ }\left( 1\right)
=0\right\} $

\item $G=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ }\left( 1\right)
=1\right\} $ \ (mais c'est un \textit{translat\'{e}} du pr\'{e}c\'{e}dent)

\item $F=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est d\'{e}rivable
sur }\mathbb{R}\text{ et }f^{\prime }=f\right\} $ (montrer que $F\subset 
\mathcal{C}^{\infty }\left( \mathbb{R},\mathbb{R}\right) $)

\item $F=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est deux fois d%
\'{e}rivable sur }\mathbb{R}\text{ et }f^{\prime \prime }=-f\right\} $
(montrer que $F\subset \mathcal{C}^{\infty }\left( \mathbb{R},\mathbb{R}%
\right) $)

\item $\mathcal{P}_{T}=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est p%
\'{e}riodique de p\'{e}riode }T\right\} $

\item $\mathcal{P}=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f\text{ est p%
\'{e}riodique}\right\} $

\item $\mathcal{P}_{\mathbb{Q}}=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\;f%
\text{ est p\'{e}riodique de p\'{e}riode rationnelle}\right\} $

\item $F=\left\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\;/\exists g,h\in \mathbb{R}^{%
\mathbb{R}},\;g\text{ et }h\text{ croissantes / }f=g-h\right\} $

\item : On fixe $g\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ ; $F_{g}=\left\{ f.g\;/\;f%
\text{ }\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right\} $ (on pourra remarquer que $%
F_{g} $ n'est autre que l'ensemble des applications qui s'annulent aux
points o\`{u} $g$ s'annule).

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\left(
u_{n}\right) \text{ est arithm\'{e}tique}\right\} $

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\left(
u_{n}\right) \text{ est g\'{e}om\'{e}trique}\right\} $

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\left(
\forall n\in \mathbb{N}\right) \quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\right\} $

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\left(
u_{n}\right) \text{ est convergente}\right\} $

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\lim
u_{n}=0\right\} $

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\lim
u_{n}=1\right\} $ (mais c'est un \textit{translat\'{e}} du pr\'{e}c\'{e}dent)

\item $\left\{ \left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\;/\;\left(
u_{n}\right) \text{ est born\'{e}e}\right\} $
\end{enumerate}

\item : Dans les cas c), f), i), j), k) ,l) , m), q), t), u) , aa), cc), de
l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent, d\'{e}terminer une base du sev correspondant.

\item : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{E}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace de $\mathbb{E}$ si et
seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F.$

\item En d\'{e}duire que si $F\neq E$ et $G\neq E,$ alors $F\cup G\neq E.$
\end{enumerate}

\item : Soient $F,G$ et $H$ des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{E}.$ On
pose 
\begin{equation*}
A=F\cap \left( G+H\right) \;;B=\left( F\cap G\right) +\left( F\cap H\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $B\subset A,$ mais que l'inclusion peut \^{e}tre stricte.

\item Montrer que si $F$ contient $G$ ou $H,$ alors $A=B.$

\item Montrer que $B=F\cap \left( G+\left( F\cap H\right) \right) .$

\item Montrer que $\left\{ 
\begin{array}{c}
F\cap G=F\cap H \\ 
F+G=F+H \\ 
G\subset H%
\end{array}%
\right. \Rightarrow G=H$

\item Etudier les inclusions entre $C=F+\left( G\cap H\right) $ et $D=\left(
F+G\right) \cap \left( F+H\right) .$

\item **Montrer que si $F\cap \left( G+H\right) =\left( F\cap G\right)
+\left( F\cap H\right) ,$ les deux autres \'{e}galit\'{e}s similaires sont r%
\'{e}alis\'{e}es, ainsi que les trois \'{e}galit\'{e}s du type : $F+\left(
G\cap H\right) =\left( F+G\right) \cap \left( F+H\right) .$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer un syst\`{e}me d'\'{e}quations cart\'{e}siennes du
sous-espace $F$ de $\mathbb{K}^{4}$ engendr\'{e} par 
\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left( \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-1 \\ 
2 \\ 
-2%
\end{array}%
\right) ;\left( 
\begin{array}{c}
4 \\ 
3 \\ 
2 \\ 
1%
\end{array}%
\right) \right)
\end{equation*}

\item D\'{e}terminer une famille engendrant le sous-espace vectoriel $F$ de $%
\mathbb{K}^{5}$ dont un syst\`{e}me d'\'{e}quations cart\'{e}siennes est $%
\left\{ 
\begin{array}{c}
x+2y+3z+4t+5u=0 \\ 
x+y=z+t=u%
\end{array}%
\right. $

Rep : (a) $\left\{ 
\begin{array}{c}
8x-6y-7z=0 \\ 
5x-9y+7t=0%
\end{array}%
\right. $(b)$\left( \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-1 \\ 
-1 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;\left( 
\begin{array}{c}
10 \\ 
-9 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right) \right) $
\end{enumerate}

\item : Montrer que $\left( \exp ,x\mapsto xe^{x},x\mapsto xe^{x}\ln
x,x\mapsto x\ln x,x\mapsto x,\ln \right) $ est une famille libre de $\mathbb{%
R}^{]0,+\infty \lbrack }$.

\item : Les familles de Van der Monde ;

\begin{enumerate}
\item On donne dans $\mathbb{K}^{3}$ les vecteurs $\left( 1,a,a^{2}\right)
,\left( 1,b,b^{2}\right) ,\left( 1,c,c^{2}\right) $ ; \`{a} quelle CNS
portant sur $a,b,c$ forment-ils une famille libre ?

\item Idem pour $\left( 1,1,1\right) ,\left( a,b,c\right) ,\left(
a^{2},b^{2},c^{2}\right) .$

\item * G\'{e}n\'{e}raliser.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soient $a,b,c$ trois \'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{K}$ distincts.
Montrer que $\left( \left( a^{n}\right) ,\left( b^{n}\right) ,\left(
c^{n}\right) \right) $ est une famille libre de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}.$

\item * G\'{e}n\'{e}raliser.
\end{enumerate}

\item * : On donne 
\begin{equation*}
f_{1}:x\mapsto \sqrt{\sqrt{1+x^{2}}+x};f_{2}:x\mapsto \sqrt{\sqrt{1+x^{2}}-x}%
;f_{3}:x\mapsto \sqrt{\sqrt{1+x^{2}}+1};f_{4}:x\mapsto \sqrt{\sqrt{1+x^{2}}-1%
}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le rang de $\left( f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\right) $
dans $\mathbb{R}^{[0,+\infty \lbrack }\ $ (indication : $1+$sh$^{2}=$ch$^{2}$
ou bien calculer $\left( f_{1}\pm f_{2}\right) ^{2}).$

\item D\'{e}terminer le rang de $\left( f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\right) $
dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $\left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}}%
,...,\overrightarrow{x_{p}}\right) $ est libre si et seulement si 
\begin{equation*}
\forall i\in \left[ \left\vert 1,p\right\vert \right] \quad \overrightarrow{%
x_{i}}\notin \func{Vect}\left( \left( \overrightarrow{x_{j}}\right)
_{1\leqslant j<i}\right)
\end{equation*}%
Remarque : $\func{Vect}\left( \emptyset \right) =\left\{ \overrightarrow{0}%
\right\} .$

\item : D\'{e}montrer que $\left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{%
x_{2}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) $ est li\'{e}e si et seulement si 
\begin{equation*}
\exists i_{0}\in \left[ \left\vert 1,p\right\vert \right] \ \ /\;\func{Vect}%
\left( \overrightarrow{x}_{1},...,\overset{\vee }{\overrightarrow{x}_{i_{0}}}%
,...,\overrightarrow{x}_{p}\right) =\func{Vect}\left( \overrightarrow{x_{1}},%
\overrightarrow{x_{2}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) .
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me (fort) de la base incompl%
\`{e}te :\newline
Soit $\mathcal{G}=\left( \overrightarrow{\varepsilon _{1}},...,%
\overrightarrow{\varepsilon _{m}}\right) $ une famille g\'{e}n\'{e}ratrice
de $\mathbb{E}$ et $\mathcal{L}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,%
\overrightarrow{e_{p}}\right) $ une famille libre de $\mathbb{E}.$\newline
On rappelle que la r\'{e}union de deux listes est leur mise bout \`{a} bout
; par exemple : $\left( a,b\right) \mathcal{\cup }\left( c,d\right) =\left(
a,b,c,d\right) .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\mathcal{L}$ n'est pas g\'{e}n\'{e}ratrice, il existe
un \'{e}l\'{e}ment $\overrightarrow{\varepsilon _{i}}$ de $\mathcal{G}$ tel
que $\mathcal{L\cup }\left( \overrightarrow{\varepsilon _{i}}\right) $ soit
encore libre.

\item En d\'{e}duire qu'il existe une sous-famille $\mathcal{F}$ de $%
\mathcal{G}$ telle que $\mathcal{B}=\mathcal{L\cup F\ }$soit une base de $%
\mathbb{E}.$

\item : Illustration de ce th\'{e}or\`{e}me ; on consid\`{e}re les vecteurs
de $\mathbb{K}^{4}$ d\'{e}finis par : 
\begin{equation*}
a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-2 \\ 
-1 \\ 
2%
\end{array}%
\right) ;e=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
-1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;f=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
2 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) ;g=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;h=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{L}=\left( a,b\right) $ est libre et que $%
\mathcal{G}=\left( c,d,e,f,g,h\right) $ est g\'{e}n\'{e}ratrice.

\item Compl\'{e}ter $\mathcal{L}$ en une base de $\mathbb{K}^{4}$ en puisant
dans $\mathcal{G}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer les rangs $r$ des familles suivantes de $\mathbb{K}%
^{4}$ et les $4-r$ relations entre les vecteurs de chaque famille.

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{F}_{1}=\left( a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
1 \\ 
2 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
-2 \\ 
3%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) \right) $

\item $\mathcal{F}_{2}=\left( a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
2 \\ 
-1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
3 \\ 
-1 \\ 
2 \\ 
0%
\end{array}%
\right) \right) $

\item $\mathcal{F}_{3}=\left( a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
2 \\ 
3%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
2%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
4 \\ 
3 \\ 
-4 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
-6 \\ 
-5%
\end{array}%
\right) \right) $
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer le rang de la famille $\mathcal{F}$ du $\mathbb{C}$%
-espace $\mathbb{C}^{4}$ et \'{e}ventuellement les relations entre les
vecteurs de $\mathcal{F}$ : 
\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left( a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
i \\ 
1+i \\ 
-i%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
-i \\ 
0 \\ 
2-i \\ 
1+i%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
-1 \\ 
1 \\ 
2+i%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
1-i \\ 
1+i \\ 
2 \\ 
-1-i%
\end{array}%
\right) \right)
\end{equation*}%
quel est le rang de $\mathcal{F}$ dans le $\mathbb{R}-$espace $\mathbb{C}%
^{4} $ ?

\item : Soient les vecteurs de $\mathbb{K}^{3}$ : 
\begin{equation*}
a=\left( 
\begin{array}{c}
-1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) ;x=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
-3 \\ 
1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Soit $\mathcal{B}=\left( a,b,c\right) \;;$ est-ce une base de $\mathbb{K}%
^{3} $ ? Si oui, donner les coordonn\'{e}es de $x$ dans cette base.

\item : Soit $F=\func{Vect}\left( a,b,c\right) $ et $G=\func{Vect}\left(
d,e\right) $ avec : 
\begin{equation*}
a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
3 \\ 
4%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
3%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
1 \\ 
2 \\ 
2%
\end{array}%
\right) ;d=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
-1 \\ 
2%
\end{array}%
\right) ;e=\left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
3 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les dimensions de $F,$ $G,\;F+G,\;F\cap G.$

\item D\'{e}terminer une base de $F\cap G.$\newline
R\'{e}ponse : $(d).$
\end{enumerate}

\item : On consid\`{e}re les vecteurs de $\mathbb{K}^{5}$ suivants : 
\begin{equation*}
a=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;b=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ;c=\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right) d=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
1 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ;e=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
et on pose $\func{Vect}\left( a,b,c\right) =F,\func{Vect}\left( d,e\right)
=G.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathbb{K}^{5}=F\oplus G.$

\item D\'{e}terminer un syst\`{e}me d'\'{e}quations cart\'{e}siennes de $F$
et de $G.$

\item Donner les expressions analytiques des deux projections $p$ et $q$
associ\'{e}es \`{a} cette d\'{e}composition de $\mathbb{K}^{5},$ c'est-\`{a}%
-dire, si $p\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z \\ 
t \\ 
u%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime } \\ 
t^{\prime } \\ 
u^{\prime }%
\end{array}%
\right) ,$ les expressions de $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime
},u^{\prime }$ en fonction de $x,y,z,t,u$ et de m\^{e}me pour $q.$
\end{enumerate}

\item : Soit $I$ un ensemble fini. D\'{e}terminer une base et la dimension
de $\mathbb{K}^{I}.$\newline
M\^{e}me chose pour $\mathbb{E}^{I}$ o\`{u} $\mathbb{E}$ est un $\mathbb{K}-$%
espace vectoriel de dimension finie.

\item * : soit $A=\left( a_{ij}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}\in 
\mathfrak{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ $;$ $A$ est dite \textit{centrosym%
\'{e}trique} si : 
\begin{equation*}
\forall i,j\quad a_{i,j}=a_{n+1-i,n+1-j}
\end{equation*}%
Montrer que l'ensemble $\mathfrak{CS}_{n}\left( K\right) $ des matrices
centrosym\'{e}triques est un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{M}%
_{n}\left( \mathbb{K}\right) ,$ en donner une base et la dimension (on s\'{e}%
parera les cas $n$ pair et $n$ impair).

\item * : Soit $\mathbb{E}$ un $\mathbb{C}-$espace vectoriel ; $\mathbb{E}$
peut aussi \^{e}tre muni d'une structure de $\mathbb{R}-$espace vectoriel,
en restreignant l'op\'{e}ration externe $\mathbb{C\times \mathbb{E}}%
\rightarrow \mathbb{E}$ \`{a} $\mathbb{R}\times \mathbb{E}\rightarrow 
\mathbb{E}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une famille finie li\'{e}e sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}%
- $li\'{e}e) est $\mathbb{C}-$li\'{e}e, mais que la r\'{e}ciproque est
fausse. Qu'en d\'{e}duit-on pour les familles libres ?

\item Une famille finie $\mathbb{R}-$g\'{e}n\'{e}ratrice est-elle $\mathbb{C}%
-$g\'{e}n\'{e}ratrice ?

\item Une famille finie $\mathbb{C}-$g\'{e}n\'{e}ratrice est elle $\mathbb{R}%
-$g\'{e}n\'{e}ratrice ?

\item Montrer que si $\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}%
}\right) $ est une $\mathbb{C}-$base de $\mathbb{E},$ alors $\left( 
\overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}},i\overrightarrow{e_{1}}%
,...,i\overrightarrow{e_{n}}\right) $ est une $\mathbb{R}-$base de $\mathbb{E%
}.$ En d\'{e}duire une relation entre la $\mathbb{R}-$dimension de $\mathbb{E%
}$ et sa $\mathbb{C}-$dimension.

\item Si $\mathcal{F}$ est une famille finie de $\mathbb{E},$ d\'{e}montrer
que $\limfunc{rg}_{\mathbb{C}}\left( \mathcal{F}\right) \leqslant \limfunc{rg%
}_{\mathbb{R}}\left( \mathcal{F}\right) \leqslant 2\times \limfunc{rg}_{%
\mathbb{C}}\left( \mathcal{F}\right) .$

Correction\newline

a) $(1,i)$ est $\mathbb{C}$-li\'{e}e car $i.i+1=0$ mais elle est $\mathbb{R}$%
-libre. Une famille $\mathbb{C}$-libre est $\mathbb{R}$-libre.

b) Oui car tout r\'{e}el est un complexe.

c) Non : (1) est $\mathbb{C}$-g\'{e}n\'{e}ratrice de $\mathbb{C}$ mais pas $%
\mathbb{R}$-g\'{e}n\'{e}ratrice.

d) l'id\'{e}e est qu'une $\mathbb{R}$-combinaisosn de$%
(e_{1},...,e_{n},ie_{1},..,ie_{n})$ est une $\mathbb{C}$-combinaison de $%
(e_{1},..,e_{n})$ . Donc $\dim _{\mathbb{R}}(E)$ $\geqslant $ $2\dim _{%
\mathbb{C}}(E).$

e) Soit $F=vect_{\mathbb{C}}(\mathcal{F})$ ; $\mathcal{F}$ contient une $%
\mathbb{C}$-base $(e_{1},..,e_{r})$ de $F$, qui est $\mathbb{R}$-libre :
donc $r=rg_{\mathbb{C}}(\mathcal{F})\leqslant rg_{\mathbb{R}}(\mathcal{F})$.

$(e_{1},...,e_{r},ie_{1},..,ie_{r})$ est une $\mathbb{R}$-base de $F$ , donc 
$\dim _{\mathbb{R}}(F)=2r.$Or $vect_{\mathbb{R}}(\mathcal{F})$ est inclus
dans $vect_{\mathbb{C}}(\mathcal{F})$ donc $rg_{\mathbb{R}}(\mathcal{F}%
)\leqslant 2r$.
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Si $\left( f_{1},...,f_{n}\right) $ est libre dans le $\mathbb{C}-$%
espace $\mathbb{C}^{\mathbb{R}},\left( \func{Re}\left( f_{1}\right) ,...,%
\func{Re}\left( f_{n}\right) \right) $ est elle libre dans $\mathbb{R}^{%
\mathbb{R}}$ ?

\item Montrer que si $\left( f_{1},...,f_{n},\overline{f_{1}},...,\overline{%
f_{n}}\right) $ est $\mathbb{C}-$libre, alors $\left( \func{Re}\left(
f_{1}\right) ,...,\func{Re}\left( f_{n}\right) ,\func{Im}\left( f_{1}\right)
,...,\func{Im}\left( f_{n}\right) \right) $ est $\mathbb{R}-$libre.

\item Soit $\left( \alpha _{1},...,\alpha _{n}\right) $ des nombres
complexes distincts. Montrer que $\left( x\mapsto e^{\alpha
_{1}x},...,x\mapsto e^{\alpha _{n}x}\right) $ est $\mathbb{C}-$libre dans $%
\mathbb{C}^{\mathbb{R}}.$

\item Soit $\left( \omega _{1},...,\omega _{n}\right) $ des r\'{e}els
strictement positifs distincts. \newline
Montrer que $\left( x\mapsto \cos \left( \omega _{1}x\right) ,x\mapsto \cos
\left( \omega _{2}x\right) ,...,x\mapsto \cos \left( \omega _{n}x\right)
,x\mapsto \sin \left( \omega _{1}x\right) ,...,x\mapsto \sin \left( \omega
_{n}x\right) \right) $ est $\mathbb{R}-$libre.
\end{enumerate}

\item * : Soient $F,G,H$ des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{E}$ de
dimension $n.$ Dire (preuve \`{a} l'appui) si chacun des \'{e}nonc\'{e}s
suivants est vrai ou faux (faire des dessins).

\begin{enumerate}
\item Le compl\'{e}mentaire d'un hyperplan est une droite.

\item Si $F\cap G=G\cap H=H\cap F=\left\{ 0\right\} $ alors $\dim \left(
F+G+H\right) =\dim F+\dim G+\dim H.$

\item Si $H$ et $K$ sont deux hyperplans de $\mathbb{E}$ alors $H\cup K\neq 
\mathbb{E}.$

\item Si $P_{1}$ et $P_{2}$ sont deux plans de $\mathbb{E},$ v\'{e}rifiant $%
P_{1}\cap P_{2}=\left\{ 0\right\} $ alors $\dim \mathbb{E}\geqslant 4.$

\item On suppose que $F$ est un hyperplan ; alors 1 vecteur non nul du compl%
\'{e}mentaire de $F$ dans $\mathbb{E}$ engendre n\'{e}cessairement un suppl%
\'{e}mentaire de $F$.

\item On suppose que $F$ est de dimension $n-2$ ; alors 2 vecteurs lin\'{e}%
airement ind\'{e}pendants du compl\'{e}mentaire de $F$ dans $\mathbb{E}$
engendrent n\'{e}cessairement un suppl\'{e}mentaire de $F$.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soient $A,B,C$ trois ensembles finis, v\'{e}rifier que 
\begin{equation*}
\left\vert A\cup B\cup C\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert
B\right\vert +\left\vert C\right\vert -\left\vert A\cap B\right\vert
-\left\vert B\cap C\right\vert -\left\vert A\cap C\right\vert +\left\vert
A\cap B\cap C\right\vert
\end{equation*}

\item Soient $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $\mathbb{E}$, $\mathbb{%
K}-$espace vectoriel de dimension finie. Montrer que l'\'{e}galit\'{e} : 
\begin{equation*}
\dim \left( F+G+H\right) =\dim F+\dim G+\dim H-\dim F\cap G-\dim G\cap
H-\dim F\cap H+\dim F\cap G\cap H
\end{equation*}%
\newline
n'est pas toujours v\'{e}rifi\'{e}e, mais qu'elle l'est ssi $F\cap \left(
G+H\right) \;=\left( F\cap G\right) +\left( F\cap H\right) $ (cf. exercice
4).
\end{enumerate}

\item : Soit $\mathbb{E}=\mathbb{R}^{I};x_{0}\in I;$ $F=\left\{ f\in \mathbb{%
E}\quad /\quad f\left( x_{0}\right) =0\right\} $

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{E}.$

\item Montrer que l'ensemble $G$ des fonctions constantes de $I$ dans $%
\mathbb{R}$ est un suppl\'{e}mentaire de $F$ dans $\mathbb{E}$. Qu'en d\'{e}%
duit-on pour $F$ ?

\item Quel est le projet\'{e} $g$ d'une fonction $e\in E$ sur $G$ parall\`{e}%
lement \`{a} $F$ ? Faire une figure avec les courbes de $e$ et $g$.
\end{enumerate}

\item : Soit $\mathbb{E}=\mathcal{D}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}\right)
;x_{0}\in \mathbb{R\;};F=\left\{ f\in \mathbb{E}\quad /\quad f\left(
x_{0}\right) =f^{\prime }\left( x_{0}\right) =0\right\} $

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{E}.$

\item Montrer que l'ensemble $G$ des fonctions affines de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R},$ est un suppl\'{e}mentaire de $F$ dans $\mathbb{E}$ et en d\'{e}%
duire la codimension de $F.$

\item Quel est le projet\'{e} $g$ de $e\in E$ sur $G$ parall\`{e}lement \`{a}
$F$ $?$ Faire une figure avec les courbes de $e$ et $g$.
\end{enumerate}

\item : Soit $\mathcal{F}=\left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}%
},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) $ une famille finie de $\mathbb{E}$.%
\newline
Montrer qu'une sous-famille de $\mathcal{F}$ a un rang sup\'{e}rieur ou \'{e}%
gal \`{a} $\limfunc{rg}\left( \mathcal{F}\right) -$ nombre de vecteurs enlev%
\'{e}s$.$

\item : Soit $\mathbb{E}$ un $\mathbb{K}-$espace vectoriel de dimension
finie $n\;;$ $F$ et $G$ des sous-espaces de $\mathbb{E}$, avec $\dim
F=p,\dim G=q.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $p+q-n\leqslant \dim \left( F\cap G\right) \leqslant
\min \left( p,q\right) $ et donner un exemple pour chaque cas d'\'{e}galit%
\'{e}.

\item Plus g\'{e}n\'{e}ralement, si $\left( F_{i}\right) _{i\in \left[ \mid
1;p\mid \right] }$ sont des sous-espaces de $\mathbb{E}$ avec $\dim
F_{i}=n_{i}$ pour tout $i\in \left[ \mid 1;p\mid \right] ,$ montrer que : 
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{p}n_{i}-\left( p-1\right) n\leqslant \dim \overset{p}{\underset{%
i=1}{\cap }}F_{i}\leqslant \underset{1\leqslant i\leqslant p}{\min }\left(
n_{i}\right)
\end{equation*}%
ce qui peut s'\'{e}crire : 
\begin{equation*}
n-\sum_{i=1}^{p}\func{codim}F_{i}\leqslant \dim \overset{p}{\underset{i=1}{%
\cap }}F_{i}\leqslant \underset{1\leqslant i\leqslant p}{\min }\left( \dim
F_{i}\right)
\end{equation*}%
Regarder par exemple le cas particulier d'une intersection d'hyperplans.
\end{enumerate}

\item : Soient $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb{K}$ non tous nuls.

\begin{enumerate}
\item Soit $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$ une \'{e}quation lin%
\'{e}aire homog\`{e}ne \`{a} $n$ inconnues. Montrer que l'ensemble des
solutions est un hyperplan de $\mathbb{K}^{n}.$

\item D\'{e}duire de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent et de la premi\`{e}re
question le fait que l'ensemble des solutions d'un syst\`{e}me lin\'{e}aire
homog\`{e}ne de $p$ \'{e}quations \`{a} $n$ inconnues est un espace
vectoriel de dimension sup\'{e}rieure ou \'{e}gale \`{a} $n-p.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
